Гомотетия в параллелограмме Вариньона

П.0034. Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Докажите, что центроиды треугольников $AOB$, $BOC$, $COD$ и $DOA$ являются вершинами параллелограмма.

Из «5000 задач» (И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)

Ш.418. Окружность, вписанная в $\triangle ABC$, касается стороны $AC$ в точке $T$. Докажите, что окружности, вписанные в $\triangle ABT$ и $\triangle BCT$, касаются отрезка $BT$ в одной точке (см. рис.1).

Из «5000 задач» (И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)

Ш.343. Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ касаются внешним образом, а также касаются некоторой прямой соответственно в точках $A$ и $B$. На продолжении за точку $A$ радиуса $O_1 A$ меньшей окружности отложен отрезок $AK$, равный $O_2 B$. Докажите, что $O_2 K$ — биссектриса $\angle O_1 O_2 B$.

Из «Задачника по геометрии ...» (Аверьянов Д.И.)

Ав.4.7.7. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Докажите, что две окружности, построенные на ее боковых сторонах как на диаметрах, касаются друг друга.

Из «5000 задач» (И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)

Ш.3468. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке $P$. Прямая касается одной из этих окружностей в точке $A$ и пересекает другую в точках $B$ и $C$. Докажите, что точка $A$ равноудалена от прямых $BP$ и $CP$.

Из «Задачника по геометрии ...» (Аверьянов Д.И.)

Ав.4.8.41. Даны две окружности, касающиеся внешним образом. Пусть $A$ — точка касания общей внешней касательной к окружностям с одной из них, $B$ — точка этой окружности, диаметрально противоположная точке $A$. Докажите, что длина касательной, проведенной из точки $B$ ко второй окружности, равна диаметру первой окружности.

Перпендикулярные окружности

П.0033. Пусть окружности $\Omega_1$ и $\Omega_2$ касаются внешним образом. Проведены отрезки: $T_1T_2$ — общая касательная к $\Omega_1$ и $\Omega_2$, $T_1O_3$ — диаметр $\Omega_1$. Построена окружность $\Omega_3$ с центром в точке $O_3$ и диа­мет­ром, превосходящим вдвое диаметр окружности $\Omega_1$. Докажите, что окружности $\Omega_2$ и $\Omega_3$ пересекаются под прямым углом (то есть касательные к $\Omega_2$ и $\Omega_3$ в точке их пересечения перпендикулярны).

Гомотетия и вневписанная окружность

П.0032. $\triangle ABC$ описан около окружности $\Omega$, $T$ —  точка касания со стороной $AB$. $QT$ — диаметр $\Omega$. Прямая, проходящая через точки $C$ и $Q$, пересекает $AB$ в точке $P$. Докажите, что $AT = BP$.

Вписанная и вневписанная окружности

П.0031. Окружность $\omega$ вписана в $\triangle ABC$, $T$ —  точка касания со стороной $AB$. Окружность $\Omega$ вписана в угол $ACB$ так, что касается $AB$ в точке $U$ и расположена вне $\triangle ABC$ ($\Omega$ называется вневписанной окружностью). Докажите, что $AT = BU$.

Из «5000 задач» (И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)

Ш.3482. Диагонали трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ пе­ре­се­кают­ся в точке $O$, см. рис. 1. Докажите, что окружности, описанные около треугольников $AOD$ и $BOC$, касаются друг друга.