П.0004. Окружность с центром, лежащим на стороне $BC$ треугольника $ABC$, касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно, и пересекает сторону $BC$ в точках $F$, $G$ (точка $F$ лежит между точками $B$ и $G$). Найдите $CG$, если известно, что $BF=1$ и $BD:DA=AE:EC=1:2$.
Решение.
Рис. 1
Рекомендации по построению чертежа ...
Предлагаем следующий порядок отрисовки элементов чертежа для более точного воспроизведения указанных в условии соотношений на сторонах $ AB $ и $ AC $:
- сначала чертим прямую (на ней будет располагаться $BC$) и сверху полуокружность с центром (точка $O$) на этой прямой;
- затем отмечаем точку $A$, подбирая такой наклон касательных $ AB $ и $ AC $, чтобы соотношение $BD:DA=AE:EC=1:2$ выглядело правдоподобным.
Дважды воспользуемся теоремой о касательной и секущей: \[
BD^2 = BF \cdot BG,
\quad \mbox {или } \quad
a^2 = 4r + 1 ;
\tag {1}
\] \[
CE^2 = CG \cdot CF ,
\quad \mbox {или } \quad
16a^2 = x (x + 2r) .
\tag {2}
\] $AO$ — биссектриса угла $\angle BAC$, поскольку $\omega$ вписана в этот угол по условию.
Согласно свойству биссектрисы в треугольнике $ABC$ \[
\dfrac {OB} {AB} =
\dfrac {OC} {AC} ,
\quad \mbox {или } \quad
\dfrac {r+1} {3a} = \dfrac {r+x} {6a} .
\tag {3}
\] Решение системы уравнений (1), (2), (3) дает \(
x = 6 \pm 2 \sqrt 5 \). Однако значение \(
x = 6 - 2 \sqrt 5 \) является посторонним ответом, так как из (3) следует, что при данном значении $x$ радиус $\omega$ становится отрицательным \(
(r = 4 - 2 \sqrt 5 < 0) \).
Ответ: $CG = 6 + 2 \sqrt 5$.
