Лемма о трезубце (теорема о куриной лапке)

П.0020. Пусть $I$ — инцентр $\triangle ABC $. $BI$ пересекает описанную около $\triangle ABC $ окружность в точке $L$. Докажите, что \[
LA = LI = LC .
\]

Ломоносов 2010/10

П.0019. Диагонали трапеции $ABCD$ с основаниями $AD = 3$ и $BC = 2$ пересекаются в точке $O$. Две окружности, пересекающие основание $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно, касаются друг друга в точке $O$, а прямой $AD$ — в точках $A$ и $D$ соответственно. Найдите $AK^2+DL^2$.

Ломоносов 2012/5

П.0018. Точка $I$ — центр вписанной в $\triangle ABC$ окружности. Продолжение отрезка $BI$ за точку $I$ пересекает описанную около $\triangle ABC$ ок­руж­ность в точке $L$. Найдите угол $B$, если $IL = 4AC$.

Ломоносов 2015/3

П.0017. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $DB$ перпендикулярны сторонам $DC$ и $AB$ соответственно. Из точки $B$ проведён перпендикуляр на сторону $AD$, пересекающий $AC$ в точке $O$. Найдите $AO$, если $AB = 4$, $OC = 6$.

Ломоносов 2014/6, тур 2 (изящное решение)

П.0016. Точка $H$ — ортоцентр остроугольного $\triangle ABC$. Найдите $CH$, если $AB = 4$ и $\sin \angle C = 5/13$ (формулировка изменена).

Ломоносов 2014/6, тур 2 (обычное решение)

П.0015. Точка $H$ — ортоцентр остроугольного $\triangle ABC$. Найдите $CH$, если $AB = 4$ и $\sin \angle C = 5/13$ (формулировка изменена).

Ломоносов 2014/6 (тур 1)

П.0014. Треугольник $LOM$ с углом $\angle LOM = \alpha $ повернули на некоторый острый угол вокруг точки $O$. При этом точка $L$ переходит в точку $N$, лежащую на стороне $LM$, а точка $M$ — в такую точку $K$, что $OM \perp NK$. Найдите угол поворота.

мех.-мат. МГУ, 2010/4 (вариант 2)

П.0013. Длина основания $PS$ трапеции $ PQRS $ равна 2. Ее диагонали $ PR $ и $ QS $ пересекаются в точке $ T $, причем $ TS = 2 QT $. Кроме того, $ \angle PSQ = \angle QPR = 30^\circ $. Найдите длины боковых сторон $ PQ $ и $ RS $ трапеции, если известно, что они различны.

мех.-мат. МГУ, 2010/4 (вариант 1)

П.0012. Найдите площадь треугольника $ ABC $, если известно, что $ \angle ABC = \dfrac \pi {12} $, $ BC = 5 $, $ 2 AC > AB $, медиана $ CD $ образует со стороной $ AC $ треугольника угол величиной $ \dfrac {5\pi} {12} $.

Ломоносов 2011/5

П.0011. Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке $K$. Хорда $AB$ большей окружности $\Omega$ касается меньшей окружности $\omega$ в точке $L$, делящей хорду в отношении $AL : BL = 2 : 3$. Найдите $AK$, если $BK = 12$.

ВМК МГУ, 2010/4

П.0010. В четырехугольнике $ ABCD $ диагональ $ AC $ длины $ 9 $ является бис­сект­ри­сой острого угла $ BAD $ и делит четырехугольник на два тре­уголь­ни­ка с площадями $ 6 \sqrt 2 $ и $ 12 \sqrt 2 $. Этот четырехугольник вписан в окружностью. Найдите ее радиус.

ДВИ МГУ, 2011/5

П.0009. В треугольнике $ PQR $ проведены медианы $ PF $ и $ QE $, которые пересекаются в точке $ S $. $ SR = 2$. Вокруг четырехугольника $ ESFR $ можно описать окружность, найдите $ PQ $.

ДВИ МГУ, 2014/5

П.0008. Окружности $ \Omega_1 $ и $ \Omega_2 $ с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ касаются внешним образом в точке $A$. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается $ \Omega_1 $ и $ \Omega_2 $ в точках $B_1$ и $B_2$ соответственно. Общая касательная к окружностям, проходящая через точку $A$, пересекает отрезок $ B_1 B_2 $ с точке $C$. Прямая, делящая угол $ ACO_2 $ пополам, пересекает прямые $O_1 B_1$, $O_1 O_2$, $O_2 B_2$ в точках $D_1$, $L$, $D_2$ соответственно. Найдите отношение $ L D_2 : O_2 D_2 $, если известно, что $ C D_1 = C O_1 $.

ДВИ МГУ, 2016/5 («обычное» решение)

П.0007. Две окружности касаются внутренним образом в точке $T$. Хорда $AB$ внешней окружности касается внутренней окружности в точке $S$. Пря­мая $TS$ пересекает внешнюю окружность в точках $T$ и $C$. Най­ди­те площадь четырехугольника $TACB$, если известно, что $CB = $ $BT=3$, а радиусы окружностей относятся как $5:8$.

ДВИ МГУ, 2016/5 (гомотетия)

П.0006. Две окружности касаются внутренним образом в точке $T$. Хорда $AB$ внешней окружности касается внутренней окружности в точке $S$. Пря­мая $TS$ пересекает внешнюю окружность в точках $T$ и $C$. Най­ди­те площадь четырехугольника $TACB$, если известно, что $CB = $ $BT=3$, а радиусы окружностей относятся как $5:8$.

ДВИ МГУ, 2013/6

П.0005. Трапеция $ ABCD $ вписана в окружность радиуса $ R $ и описана около окружности радиуса $ r $. Найдите $ r $, если $ R = 12 $, а косинус угла между диагональю $ AC $ и основанием $ AD $ равен $ 3/4 $.

ДВИ МГУ, 2012/6

П.0004. Окружность с центром, лежащим на стороне $BC$ треугольника $ABC$, касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно, и пересекает сторону $BC$ в точках $F$, $G$ (точка $F$ лежит между точками $B$ и $G$). Найдите $CG$, если известно, что $BF=1$ и $BD:DA=AE:EC=1:2$.

ДВИ МГУ, 2015/5

П.0003. Окружность радиуса $ 3/2 $ касается середины стороны $ BC $ треугольника $ ABC $ и пересекает сторону $ AB $ в точках $ D $ и $ E $, так что $ AD : DE :EB = 1 : 2 : 1 $. Чему может равняться $ AC $, если $ \angle BAC = 30^\circ $?

Формула квадрата биссектрисы

П.0002. В $\triangle ABC $ точка $L_a$ — основание биссектрисы $ \angle A$ $( L_a \in BC )$. Пусть $AL_a = l_a$, $BL_a = a_c$, $CL_a = c_b$. Докажите, что \[
l_a^2 = bc - a_b a_c .
\tag {1}
\]

Деление биссектрисы инцентром

П.0001. В $\triangle ABC $ точка $L_a$ — основание биссектрисы $ \angle A$ $( L_a \in BC )$. Докажите, что \[
\dfrac {AI} {IL_a} = \dfrac  {b+c}  a .
\tag {1}
\]