Ломоносов 2010/10

П.0019. Диагонали трапеции $ABCD$ с основаниями $AD = 3$ и $BC = 2$ пересекаются в точке $O$. Две окружности, пересекающие основание $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно, касаются друг друга в точке $O$, а прямой $AD$ — в точках $A$ и $D$ соответственно. Найдите $AK^2+DL^2$.

Ломоносов 2012/5

П.0018. Точка $I$ — центр вписанной в $\triangle ABC$ окружности. Продолжение отрезка $BI$ за точку $I$ пересекает описанную около $\triangle ABC$ ок­руж­ность в точке $L$. Найдите угол $B$, если $IL = 4AC$.

Ломоносов 2015/3

П.0017. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $DB$ перпендикулярны сторонам $DC$ и $AB$ соответственно. Из точки $B$ проведён перпендикуляр на сторону $AD$, пересекающий $AC$ в точке $O$. Найдите $AO$, если $AB = 4$, $OC = 6$.

Ломоносов 2014/6, тур 2 (изящное решение)

П.0016. Точка $H$ — ортоцентр остроугольного $\triangle ABC$. Найдите $CH$, если $AB = 4$ и $\sin \angle C = 5/13$ (формулировка изменена).

Ломоносов 2014/6, тур 2 (обычное решение)

П.0015. Точка $H$ — ортоцентр остроугольного $\triangle ABC$. Найдите $CH$, если $AB = 4$ и $\sin \angle C = 5/13$ (формулировка изменена).

Ломоносов 2014/6 (тур 1)

П.0014. Треугольник $LOM$ с углом $\angle LOM = \alpha $ повернули на некоторый острый угол вокруг точки $O$. При этом точка $L$ переходит в точку $N$, лежащую на стороне $LM$, а точка $M$ — в такую точку $K$, что $OM \perp NK$. Найдите угол поворота.

Ломоносов 2011/5

П.0011. Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке $K$. Хорда $AB$ большей окружности $\Omega$ касается меньшей окружности $\omega$ в точке $L$, делящей хорду в отношении $AL : BL = 2 : 3$. Найдите $AK$, если $BK = 12$.