П.0005. Трапеция $ ABCD $ вписана в окружность радиуса $ R $ и описана около окружности радиуса $ r $. Найдите $ r $, если $ R = 12 $, а косинус угла между диагональю $ AC $ и основанием $ AD $ равен $ 3/4 $.
Решение. Трапеция вписанная, значит, равнобедренная. Обозначим основания трапеции через $ a $ и $ b $ $ (a > b) $, боковые стороны через $ c $, $ \angle CAD = \alpha $.Для описанного четырехугольника выполняется равенство сумм противоположных сторон, т.е. $ a+b = 2c $. Значит, средняя линия трапеции равна $ c $.
Рис. 1
По условию дано, что $ \cos \alpha = \dfrac 34 $, тогда \(
\sin \alpha = \dfrac {\sqrt 7} 4 \).
$ CD = c $, также $ AH = c $ (как средняя линия $ ABCD $).
По теореме синусов для вписанного $ \triangle ACD $ выполняется \(
CD = 2 R \sin \alpha \).
В прямоугольном треугольнике \( ACH \): \[
CH = AH \,\tg \,\alpha = c \,\tg \,\alpha =
2 R \cdot \dfrac {\sin^2 \alpha} {\cos \alpha} = 14 .
\] $ CH $ равна диаметру вписанной в трапецию $ ABCD $ окружности, поскольку для оснований $ AD $ и $ BC $ серединный перпендикуляр, на котором лежит центр вписанной окружности, является общим. Следовательно, $ r = 7 $.
Ответ: \( 7 \).
