Из «5000 задач» (И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)

Ш.418. Окружность, вписанная в $\triangle ABC$, касается стороны $AC$ в точке $T$. Докажите, что окружности, вписанные в $\triangle ABT$ и $\triangle BCT$, касаются отрезка $BT$ в одной точке (см. рис.1).

Из «5000 задач» (И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)

Ш.343. Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ касаются внешним образом, а также касаются некоторой прямой соответственно в точках $A$ и $B$. На продолжении за точку $A$ радиуса $O_1 A$ меньшей окружности отложен отрезок $AK$, равный $O_2 B$. Докажите, что $O_2 K$ — биссектриса $\angle O_1 O_2 B$.

Из «Задачника по геометрии ...» (Аверьянов Д.И.)

Ав.4.7.7. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Докажите, что две окружности, построенные на ее боковых сторонах как на диаметрах, касаются друг друга.

Из «5000 задач» (И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)

Ш.3468. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке $P$. Прямая касается одной из этих окружностей в точке $A$ и пересекает другую в точках $B$ и $C$. Докажите, что точка $A$ равноудалена от прямых $BP$ и $CP$.

Из «Задачника по геометрии ...» (Аверьянов Д.И.)

Ав.4.8.41. Даны две окружности, касающиеся внешним образом. Пусть $A$ — точка касания общей внешней касательной к окружностям с одной из них, $B$ — точка этой окружности, диаметрально противоположная точке $A$. Докажите, что длина касательной, проведенной из точки $B$ ко второй окружности, равна диаметру первой окружности.

Перпендикулярные окружности

П.0033. Пусть окружности $\Omega_1$ и $\Omega_2$ касаются внешним образом. Проведены отрезки: $T_1T_2$ — общая касательная к $\Omega_1$ и $\Omega_2$, $T_1O_3$ — диаметр $\Omega_1$. Построена окружность $\Omega_3$ с центром в точке $O_3$ и диа­мет­ром, превосходящим вдвое диаметр окружности $\Omega_1$. Докажите, что окружности $\Omega_2$ и $\Omega_3$ пересекаются под прямым углом (то есть касательные к $\Omega_2$ и $\Omega_3$ в точке их пересечения перпендикулярны).

Из «5000 задач» (И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)

Ш.3482. Диагонали трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ пе­ре­се­кают­ся в точке $O$, см. рис. 1. Докажите, что окружности, описанные около треугольников $AOD$ и $BOC$, касаются друг друга.

Из «5000 задач» (И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)

Ш.3364. В параллелограмме лежат две окружности. Одна их них, радиуса $3$, вписана в параллелограмм, вторая касается двух сторон параллелограмма и первой окружности, см. рис. 1. Расстояние меж­ду точками касания, лежащими на одной стороне параллелограмма, равно $3$. Найдите площадь параллелограмма.

Внешнее касание двух окружностей с параллельными диаметрами

П.0030. Пусть окружности $\Omega_1$ ($A_1 B_1$ — диаметр) и $\Omega_2$ ($A_2 B_2$ — диаметр) касаются внешним образом в точке $O$, причем прямые $A_1 B_1 $ и $ A_2 B_2 $ не имеют общих точек, см. рис. 1. Докажите, что $A_1 A_2 $ и  $ B_1 B_2 $ пересекаются в точке $O$ под прямым углом.

Три окружности, касающиеся внешним образом

П.0029. Три окружности $\Omega_1$ (центр $O_1$, радиус $R_1$), $\Omega_2$ (центр $O_2$, радиус $R_2$) и $\omega$ (центр $O$, радиус $r$) касаются попарно внешним образом. Кроме того, $\Omega_1$, $\Omega_2$ и $
\omega$ касаются общей прямой, см. рис. 1. Докажите, что \[
\dfrac 1 {\sqrt r} = \dfrac 1 {\sqrt {R_1}} + \dfrac 1 {\sqrt {R_2}}  .
\]

Внешнее касание окружностей (лемма)

П.0028. Пусть окружности $\Omega_1$ (центр $O_1$, радиус $R_1$) и $\Omega_2$ (центр $O_2$, радиус $R_2$) касаются внешним образом в точке $A$, см. рис. 1. Прямая $B_1 B_2$ — общая касательная к $\Omega_1$ и $\Omega_2$, точки касания — $B_1$ и $B_2$ соответственно. Докажите, что

$\qquad$ 1) \(
\angle O_1 C O_2 = \dfrac \pi 2 \);

$\qquad$ 2) \(
CA = CB_1 = CB_2 = \sqrt {R_1 R_2} \);

$\qquad$ 3) \(
\angle B_1 A B_2 = \dfrac \pi 2 \);
$\qquad$ 4) \(
\mbox {проекция } B_1 B_2
\mbox { на прямую } O_1 O_2
\mbox { равна } \dfrac {2 R_1 R_2} {R_1 + R_2} \).

\( \small
\sqrt {R_1 R_2} \) — среднее геометрическое, \(
\small \dfrac {2 R_1 R_2} {R_1 + R_2}
\) — среднее гар­мо­ни­чес­кое \( \small R_1\) и \( \small R_2 \).

Ломоносов 2010/10

П.0019. Диагонали трапеции $ABCD$ с основаниями $AD = 3$ и $BC = 2$ пересекаются в точке $O$. Две окружности, пересекающие основание $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно, касаются друг друга в точке $O$, а прямой $AD$ — в точках $A$ и $D$ соответственно. Найдите $AK^2+DL^2$.

ДВИ МГУ, 2014/5

П.0008. Окружности $ \Omega_1 $ и $ \Omega_2 $ с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ касаются внешним образом в точке $A$. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается $ \Omega_1 $ и $ \Omega_2 $ в точках $B_1$ и $B_2$ соответственно. Общая касательная к окружностям, проходящая через точку $A$, пересекает отрезок $ B_1 B_2 $ с точке $C$. Прямая, делящая угол $ ACO_2 $ пополам, пересекает прямые $O_1 B_1$, $O_1 O_2$, $O_2 B_2$ в точках $D_1$, $L$, $D_2$ соответственно. Найдите отношение $ L D_2 : O_2 D_2 $, если известно, что $ C D_1 = C O_1 $.