Гомотетия в параллелограмме Вариньона

П.0034. Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Докажите, что центроиды треугольников $AOB$, $BOC$, $COD$ и $DOA$ являются вершинами параллелограмма.

Параллелограмм Вариньона (7)

П.0027. Дан выпуклый четырехугольник, см. рис. 1. Докажите, что \[
S_{11} + S_{22} = S_{12} + S_{21} . \]

Параллелограмм Вариньона (6)

П.0026. Дан выпуклый четырехугольник, см. рис. 1. Докажите, что \[
S_0 = S_{11} + S_{12} + S_{21} + S_{22} . \] Иными словами, площадь параллелограмма Вариньона вдвое меньше площади четырехугольника, в котором он определен.

параллелограмм Вариньона (5)

П.0025. Дан выпуклый четырехугольник, см. рис. 1. Докажите, что \[
S_{11} + S_{22} = S_{12} + S_{21} . \]

Параллелограмм Вариньона (4)

П.0024. Дан выпуклый четырехугольнике $ABCD$, в котором пересечением средних линий является точка $O$. Докажите, что отрезок $CM$, где точка $M$ — центроид $\triangle ABD$, проходит через точку $O$ и $CO : OM = 3 : 1 $.

Параллелограмм Вариньона (3)

П.0023. Средние линии произвольного четырехугольника и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке.

Параллелограмм Вариньона (2)

П.0022. Средние линии произвольного четырехугольника делятся точкой пересечения пополам.

Параллелограмм Вариньона (1)

П.0021. Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.