Из «5000 задач» (И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)

Ш.3468. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке $P$. Прямая касается одной из этих окружностей в точке $A$ и пересекает другую в точках $B$ и $C$. Докажите, что точка $A$ равноудалена от прямых $BP$ и $CP$.

Гомотетия и вневписанная окружность

П.0032. $\triangle ABC$ описан около окружности $\Omega$, $T$ —  точка касания со стороной $AB$. $QT$ — диаметр $\Omega$. Прямая, проходящая через точки $C$ и $Q$, пересекает $AB$ в точке $P$. Докажите, что $AT = BP$.

Из «5000 задач» (И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)

Ш.3482. Диагонали трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ пе­ре­се­кают­ся в точке $O$, см. рис. 1. Докажите, что окружности, описанные около треугольников $AOD$ и $BOC$, касаются друг друга.

Из «5000 задач» (И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)

Ш.3599. Две окружности $\Omega$ и $\omega$ касаются друг друга внутренним образом в точке $T$. Хорда $AB$ в большей окружности $(\Omega)$ касается меньшей $(\omega)$ в точке $S$. Прямая $TS$ вторично пересекает $\Omega$ в точке $C$. Найдите $BC$, если $TC = u$, $CS = v$.

Из «5000 задач» (И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)

Ш.3364. В параллелограмме лежат две окружности. Одна их них, радиуса $3$, вписана в параллелограмм, вторая касается двух сторон параллелограмма и первой окружности, см. рис. 1. Расстояние меж­ду точками касания, лежащими на одной стороне параллелограмма, равно $3$. Найдите площадь параллелограмма.

ДВИ МГУ, 2016/5 (гомотетия)

П.0006. Две окружности касаются внутренним образом в точке $T$. Хорда $AB$ внешней окружности касается внутренней окружности в точке $S$. Пря­мая $TS$ пересекает внешнюю окружность в точках $T$ и $C$. Най­ди­те площадь четырехугольника $TACB$, если известно, что $CB = $ $BT=3$, а радиусы окружностей относятся как $5:8$.