Ломоносов 2010/10

П.0019. Диагонали трапеции $ABCD$ с основаниями $AD = 3$ и $BC = 2$ пересекаются в точке $O$. Две окружности, пересекающие основание $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно, касаются друг друга в точке $O$, а прямой $AD$ — в точках $A$ и $D$ соответственно. Найдите $AK^2+DL^2$.

Ломоносов 2015/3

П.0017. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $DB$ перпендикулярны сторонам $DC$ и $AB$ соответственно. Из точки $B$ проведён перпендикуляр на сторону $AD$, пересекающий $AC$ в точке $O$. Найдите $AO$, если $AB = 4$, $OC = 6$.

Ломоносов 2014/6, тур 2 (обычное решение)

П.0015. Точка $H$ — ортоцентр остроугольного $\triangle ABC$. Найдите $CH$, если $AB = 4$ и $\sin \angle C = 5/13$ (формулировка изменена).

мех.-мат. МГУ, 2010/4 (вариант 2)

П.0013. Длина основания $PS$ трапеции $ PQRS $ равна 2. Ее диагонали $ PR $ и $ QS $ пересекаются в точке $ T $, причем $ TS = 2 QT $. Кроме того, $ \angle PSQ = \angle QPR = 30^\circ $. Найдите длины боковых сторон $ PQ $ и $ RS $ трапеции, если известно, что они различны.