Лемма о трезубце (теорема о куриной лапке)

П.0020. Пусть $I$ — инцентр $\triangle ABC $. $BI$ пересекает описанную около $\triangle ABC $ окружность в точке $L$. Докажите, что \[
LA = LI = LC .
\]

Формула квадрата биссектрисы

П.0002. В $\triangle ABC $ точка $L_a$ — основание биссектрисы $ \angle A$ $( L_a \in BC )$. Пусть $AL_a = l_a$, $BL_a = a_c$, $CL_a = c_b$. Докажите, что \[
l_a^2 = bc - a_b a_c .
\tag {1}
\]

Деление биссектрисы инцентром

П.0001. В $\triangle ABC $ точка $L_a$ — основание биссектрисы $ \angle A$ $( L_a \in BC )$. Докажите, что \[
\dfrac {AI} {IL_a} = \dfrac  {b+c}  a .
\tag {1}
\]