Лемма о трезубце (теорема о куриной лапке)

П.0020. Пусть $I$ — инцентр $\triangle ABC $. $BI$ пересекает описанную около $\triangle ABC $ окружность в точке $L$. Докажите, что \[
LA = LI = LC .
\]

Доказательство.

Рис. 1

На рис. 2: $BI$, $CI$ — биссектрисы $\angle B$, $\angle C$ соответственно.
Обозначим дужками одного цвета равные углы.

Рис. 2

Пусть каждый такой  голубой угол равен $\varphi$, вишневый — $\psi$.

$\triangle ACL$ равнобедренный, тогда \( LA = LC \).

В $\triangle LIC$: \( LI = LC \), поскольку \(
\angle LIC = \angle LCI \): \[
\angle LCI = \varphi + \psi ,
\] \[
\angle LIC = \varphi + \psi
\quad \mbox {(как внешний угол $\triangle BCI$)} .
\]

$\blacksquare$