Внешнее касание окружностей (лемма)

П.0028. Пусть окружности $\Omega_1$ (центр $O_1$, радиус $R_1$) и $\Omega_2$ (центр $O_2$, радиус $R_2$) касаются внешним образом в точке $A$, см. рис. 1. Прямая $B_1 B_2$ — общая касательная к $\Omega_1$ и $\Omega_2$, точки касания — $B_1$ и $B_2$ соответственно. Докажите, что

$\qquad$ 1) \(
\angle O_1 C O_2 = \dfrac \pi 2 \);

$\qquad$ 2) \(
CA = CB_1 = CB_2 = \sqrt {R_1 R_2} \);

$\qquad$ 3) \(
\angle B_1 A B_2 = \dfrac \pi 2 \);
$\qquad$ 4) \(
\mbox {проекция } B_1 B_2
\mbox { на прямую } O_1 O_2
\mbox { равна } \dfrac {2 R_1 R_2} {R_1 + R_2} \).

\( \small
\sqrt {R_1 R_2} \) — среднее геометрическое, \(
\small \dfrac {2 R_1 R_2} {R_1 + R_2}
\) — среднее гар­мо­ни­чес­кое \( \small R_1\) и \( \small R_2 \).

Рис. 1