Формула квадрата биссектрисы

П.0002. В $\triangle ABC $ точка $L_a$ — основание биссектрисы $ \angle A$ $( L_a \in BC )$. Пусть $AL_a = l_a$, $BL_a = a_c$, $CL_a = c_b$. Докажите, что \[
l_a^2 = bc - a_b a_c .
\tag {1}
\]

Указания. Пусть $\angle BAC = \varphi $.

Рис. 1

Треугольник $ABC$ и четырехугольник $ACLB$ — равносоставленные фигуры. \[
S_{ABC} = \tfrac 12 bc \sin \varphi .
\tag {2}
\]

Рис. 2

Пусть $ACLT$ — равнобедренная трапеция, поэтому \[
S_{ACLT} = \tfrac 12 l_a^2 \sin \varphi .
\tag {3}
\] $\angle TLB = \varphi $, тогда \[
S_{TKB} = \tfrac 12 a_b a_c \sin \varphi .
\tag {4}
\] Из $ S_{ABC} = S_{ACLT} + S_{TKB} $ следует (1).

$\blacksquare$