П.0012. Найдите площадь треугольника $ ABC $, если известно, что $ \angle ABC = \dfrac \pi {12} $, $ BC = 5 $, $ 2 AC > AB $, медиана $ CD $ образует со стороной $ AC $ треугольника угол величиной $ \dfrac {5\pi} {12} $.
Решение. Опишем около $ \triangle ABC $ окружность $\Omega$. Обозначим $T$ вторую точку пересечения медианы $CD$ с $\Omega$ (первой точкой является точка $C$).Два вписанных угла $ABC$ и $ACT$ (он же $ACD$) опираются встык на половину $\Omega$, т.е. $CT$ — диаметр $\Omega$ и $\angle CAT = \dfrac \pi 2$.
Рис. 1
Если хорда делится диаметром пополам, то возможны два случая:
- хорда (ее длина меньше диаметра) и диаметр перпендикулярны, значит, $ \triangle ABC $ равнобедренный ($CB = CA$);
- хорда является диаметром, тогда $\angle ACB = \pi/2$, $AC$ и $BC$ — катеты в прямоугольном $\triangle ABC$, $AC$ лежит против угла $\dfrac \pi {12}$, значит, $ 2 AC < AB $, что противоречит условию задачи.
Таким образом, $\angle ACD = \dfrac {5\pi} 6$ и \[
S_{ABC} = \dfrac 12 \cdot CB \cdot CA \cdot \sin \dfrac {5\pi} 6 =
\dfrac {25} 4 .
\]
Ответ: \( \dfrac {25} 4 \).
Примечание. В условии оказалось лишним неравенство $ 2 AC > AB $.
