П.0013. Длина основания $PS$ трапеции $ PQRS $ равна 2. Ее диагонали $ PR $ и $ QS $ пересекаются в точке $ T $, причем $ TS = 2 QT $. Кроме того, $ \angle PSQ = \angle QPR = 30^\circ $. Найдите длины боковых сторон $ PQ $ и $ RS $ трапеции, если известно, что они различны.
Решение.
Рис. 1
$ \angle PSQ = \angle SQR $, поскольку являются внутренними накрест лежащими ($ PS \parallel QR $, $ QS $ — секущая).
Предложенный чертеж, скорее, эскиз. Понадобится некоторое воображение, чтобы представить углы, отмеченные оранжевыми дужками, равными $30^\circ$. Когда форма трапеции станет более понятной, рисунок уточним.
Далее будем использовать следующие обозначения:
- $T_1$, $T_2$, $T_3$, $T_4$ — треугольники 1, 2, 3, 4;
- $T_{12}$ ($T_{34}$) — треугольник, составленный из Т1 и Т2 (Т3 и Т4).
Из $ T_{12} \sim T_2 $ следует: \[
\dfrac {QR} {TR} =
\dfrac {PR} {QR},
\quad \mbox {или} \quad
\dfrac 1 {\frac 13 PR} =
\dfrac {PR} 1,
\] \[
PR = \sqrt 3 .
\tag {1}
\] По теореме косинусов для $ T_{12} $ вычисляем \[
QP = 1
\quad \mbox {и} \quad
QP = 2 .
\tag {2}
\] Если $QP = 1$, то $\triangle PQR$ равнобедренный, $\angle PRQ = \angle QPR= 30^\circ$, тогда диагонали трапеции $ PQ $ и $ RS $ равны, что противоречит условию задачи.
При $QP = 2$, то $\triangle PQS$ равнобедренный, $\angle PQS = \angle QPR= 30^\circ$, тогда $\angle RPS $ — прямой. Уточним ранее сделанный рисунок.
Рис. 2
По теореме Пифагора для $T_{34}$ \[
RS = \sqrt 7 .
\tag {3}
\]
Ответ: \( PQ = 2 \), \( RS = \sqrt 7 \).
