П.0011. Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке $K$. Хорда $AB$ большей окружности $\Omega$ касается меньшей окружности $\omega$ в точке $L$, делящей хорду в отношении $AL : BL = 2 : 3$. Найдите $AK$, если $BK = 12$.
Решение.
Рис. 1
Проведем прямую $MN$ — общую касательную к $\omega$ и $\Omega$ в точке их касания. Соединим отрезком точки $K$ и $L$. Отметим точку $P$ — пересечение $\omega$ и $AK$, проведем отрезок $LP$.
Рис. 2
Воспользуемся утверждениями:
- вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (или равные дуги), равны;
- вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны;
- угол между касательной и хордой равен вписанному углу, который опирается на дугу, заключенную между касательной и хордой.
Рис. 3
На рис. 3 изображены три равных угла, обозначенных оранжевой дужкой, и два равных угла, отмеченных двойной розовой дужкой.
Пусть $\angle ABK = \alpha$, $\angle ALP = \beta$.
$ \angle ALK = \alpha + \beta = \angle BKL + \alpha$ (внешний угол $\triangle BKL$ равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним).
Следовательно, $\angle BKL = \beta$ и $KL$ — биссектриса в $\triangle ABK$.
Согласно свойству биссектрисы \[
\dfrac {AK} {AL} =
\dfrac {KB} {BL}.
\]
Ответ: \( AK = 8 \).
