П.0010. В четырехугольнике $ ABCD $ диагональ $ AC $ длины $ 9 $ является биссектрисой острого угла $ BAD $ и делит четырехугольник на два треугольника с площадями $ 6 \sqrt 2 $ и $ 12 \sqrt 2 $. Этот четырехугольник вписан в окружностью. Найдите ее радиус.
Решение.
Рис. 1
Если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма каждой из пар его противоположных углов равна $\pi$. Верно и обратное утверждение: если у четырёхугольника сумма пары противоположных углов равна $\pi$, то около этого четырёхугольника можно описать окружность. Добавим, что речь идет о выпуклых фигурах.
$ \angle ABC + \angle ADC = \pi $, поэтому перейдем к другому чертежу, в котором на стороне $AC$ построен треугольник, равный $\triangle ABC$, но по-другому сориентированный. Новый четырехугольник $ABCD$ также является вписанным в ту же окружность.
Рис. 2
Углы $CAD$ и $ACB$ равны, следовательно они являются внутренними накрест лежащими, и $ AD \parallel BC $, т.е. $ABCD$ на рис. 2 — равнобедренная трапеция, разумеется, с равными диагоналями.
Отметим, что согласно условию каждый из углов $CAD$ и $ACB$ меньше $ \pi/4$, поскольку их сумма меньше $ \pi/2$.
$ S_{ABC} = 2 S_{ACD} $ (по условию), значит, $ BC = 2 AD $.
Рис. 3
$ \triangle BTC \sim \triangle ATD $ (по двум углам) с коэффициентом подобия $2$. Тогда в точке пересечения диагоналей $T$ имеет место соотношение $ CT : TA = BT : TD = 2:1$.
Центр описанной около $ABCD$ окружности лежит на общем серединном перпендикуляре для $AD$ и $BC$, который проходит через точку $T$ (серединный перпендикуляр является осью симметрии $ABCD$).
Рассмотрим заключительный чертеж, на котором изобразим $MN$ — серединный перпендикуляр к $AD$ и $BC$, точка $O$ — центр описанной окружности, $OD$ — искомый радиус, точка $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на хорду $BD$.
Рис. 4
$ S_{ABD} = 6 \sqrt 2 $, тогда $ S_{MTD} = \sqrt 2 $ ($MN$ делится точкой пересечения диагоналей $T$ в том же отношении $2:1$, что и диагонали, $M$ — середина $AD$).
$DT = 3$. По теореме Пифагора имеем \[
MD = 2 \sqrt 2,
\quad
MT = 1
\] (значения $MT = 2 \sqrt 2$, $MD =1$ не удовлетворяют условию $\angle MDT < \pi/4$).
$ \triangle THO \sim \triangle TMD $ (по двум углам) с коэффициентом подобия $3/2$ $( TH : TM = 3/2 : 1 )$, следовательно, $HO = 3 \sqrt 2$.
По теореме Пифагора для $\triangle DOH $ ($ HD = 9/2 $, $HO = 3 \sqrt 2$) \[
DO = \dfrac {3 \sqrt {17}} 2 .
\]
Ответ: \( R = \dfrac {3 \sqrt {17}} 2 \).
