П.0009. В треугольнике $ PQR $ проведены медианы $ PF $ и $ QE $, которые пересекаются в точке $ S $. $ SR = 2$. Вокруг четырехугольника $ ESFR $ можно описать окружность, найдите $ PQ $.
Решение.
Рис. 1
Для пересекающихся хорд $ EF $ и $ SR $ выполняется равенство \[
ET \cdot TF = ST \cdot TR .
\tag {1}
\] $ EF $ — средняя линия $ \triangle PQR $, причем $ PQ = 2 EF $.
$ SR $ — фрагмент третьей медианы в $ \triangle PQR $, поскольку $ S $ — точка пересечения медиан, кроме того, $S$ делит все медианы в отношении $ 2 : 1$, считая от вершин, значит, длина третьей медианы равна $ 3 $.
Точка $ T $ делит медиану, выходящую из вершины $R$ пополам, тогда \[
TR=\dfrac 32
\quad \mbox {и} \quad
ST = \dfrac 12 .
\tag {2}
\] $ \triangle EFR \sim\triangle PQR $, более того, имеет место гомотетия с центром в точке $R$ и коэффициентом $2$. Следовательно, $RT$ — медиана в $ \triangle EFR $ и $ ET = TF $.
Из (1) вычисляем $ET = \dfrac {\sqrt 3} 2 $, затем $
EF = \sqrt 3 $ и $ PQ = 2 \sqrt 3$.
Ответ: \( \sqrt 3 \).
