П.0008. Окружности $ \Omega_1 $ и $ \Omega_2 $ с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ касаются внешним образом в точке $A$. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается $ \Omega_1 $ и $ \Omega_2 $ в точках $B_1$ и $B_2$ соответственно. Общая касательная к окружностям, проходящая через точку $A$, пересекает отрезок $ B_1 B_2 $ с точке $C$. Прямая, делящая угол $ ACO_2 $ пополам, пересекает прямые $O_1 B_1$, $O_1 O_2$, $O_2 B_2$ в точках $D_1$, $L$, $D_2$ соответственно. Найдите отношение $ L D_2 : O_2 D_2 $, если известно, что $ C D_1 = C O_1 $.
Решение.
Рис. 1
Глаза разбегаются от обилия геометрических фактов, которые можно определить по условию задачи:
1) \( \angle B_1 D_1 C = \angle B_1 O_1 C
\) ($ \triangle O_1 D_1 C $ — равнобедренный, \(
C D_1 = C O_1 \) по условию);
2) \( \angle ACL = \angle LC O_2 \) (по условию), введем обозначения: \[
\alpha = \angle B_1 D_1 C = \angle B_1 O_1 C ;
\tag {1}
\] \[
\beta = \angle ACL = \angle LC O_2 ;
\tag {2}
\] 3) \(
C O_1 \), \( C O_2 \) — биссектрисы углов $ B_1 C A $ и $ B_2 C A $ соответственно, значит, \(
\angle O_1 C O_2 \) — прямой, и \(
\angle AC O_1 = 90^\circ - 2\beta \);
4) \(
\angle O_1 CL = 2 \alpha \) (внешний угол $ \triangle C O_1 D_1 $), тогда \[
\angle AC O_1 = 2 \alpha - \beta ,
\quad \mbox {или} \quad
2 \alpha = 90^\circ - \beta ;
\tag {3}
\] 5) \(
CA = C B_1
\) (касательные, проведенные к $ \Omega_1 $ из одной точки), значит, \(
\triangle O_1 B_1 C \) и \(
\triangle O_1 A C \) равны (по трем сторонам), тогда \[
\angle A O_1 B_1 = 2 \angle C O_1 B_1 = 2 \alpha ;
\tag {4}
\] 6) \( CB_1 \perp O_1 D_1 \), \(
CB_2 \perp O_2 B_2 \), \(
CA \perp O_1 O_2\) (касательная и радиус, проведенный в точке касания, перпендикулярны);
7) \( O_1 B_1 \parallel O_2 B_2 \) ($ O_1 B_1 $, $ O_2 B_2 $ — два перпендикуляра к прямой $ B_1 B_2 $);
8) \( \angle B_1 D_1 C = \angle B_2 D_2 C \) (внутренние накрест лежащие углы), \(
\angle A O_1 D_1 = \) \( \angle A O_2 D_2 = \) (аналогично), \[
\angle B_1 D_1 C = \angle B_2 D_2 C = \alpha,
\tag {5}
\] \[
\angle A O_1 D_1 = \angle A O_2 D_2 = 2 \alpha ;
\tag {6}
\] 9) рассмотрим $ \triangle L O_2 D_2 $: \[
\angle L D_2 O_2 = \alpha ,
\] \[
\angle L O_2 D_2 = 2 \alpha ,
\] \[
\angle D_2 L O_2 = \angle ALC = 90^\circ - \beta = 2 \alpha .
\] Таким образом, $ \triangle L O_2 D_2 $ является равнобедренным, и \(
L D_2 = O_2 D_2 \).
Ответ: \( L D_2 : O_2 D_2 = 1 : 1 \).
