ДВИ МГУ, 2016/5 (гомотетия)

П.0006. Две окружности касаются внутренним образом в точке $T$. Хорда $AB$ внешней окружности касается внутренней окружности в точке $S$. Пря­мая $TS$ пересекает внешнюю окружность в точках $T$ и $C$. Най­ди­те площадь четырехугольника $TACB$, если известно, что $CB = $ $BT=3$, а радиусы окружностей относятся как $5:8$.

Решение. Введем обозначения: $\Omega$ — внешняя окружность (голубой фвет), $\omega$ — внутренняя окружность (оранжевый цвет).

Рис. 1

Рассмотрим преобразование плоскости \( H_T^k \) — гомотетию с центром в точке $T$ и коэффициентом \( k = \dfrac 85 \). Согласно свойствам гомотетии: \[
H_T^k (\omega) = \Omega ,
\] \[
H_T^k (S) = C ,
\quad TC = k \cdot TS,
\] \[
H_T^k (AB) = DE ,
\quad \mbox {где }
C \in DE
\mbox { и }
DE || AB .
\]

Рис. 2

Прямая $DE$ — касательная к окружности $\Omega$ в точке $C$, поскольку образ $DE$ (прямая $AB$) — касательная к $\omega$.

Углы $ \angle ECB $ и $ \angle ABC $ — внутренние накрест лежащие ($AB || DE$, $BC$ — се­ку­щая), значит, \(
\angle ECB = \angle ABC \) и \( AC = CB = BT \), т.е. че­ты­рех­уголь­ник $TACB$ является равнобедренной трапецией с боковыми сторонами и мень­шим основанием, равными $3$.
$ TC = TS \cdot \dfrac 85 $, или $ CS : TS = 3 : 5 $.
Тогда $ AT : CB = 5 : 3 $ (используем подобие $\triangle ATS$ и $\triangle CBS$ по двум углам).

Осталось найти площадь равнобедренной трапеции $TACB$ со сторонами $3$, $3$, $3$ и $5$. Завершите вычисления самостоятельно.

Ответ: \(
8 \sqrt 2
\).