П.0007. Две окружности касаются внутренним образом в точке $T$. Хорда $AB$ внешней окружности касается внутренней окружности в точке $S$. Прямая $TS$ пересекает внешнюю окружность в точках $T$ и $C$. Найдите площадь четырехугольника $TACB$, если известно, что $CB = $ $BT=3$, а радиусы окружностей относятся как $5:8$.
Решение. Введем обозначения: $\Omega$ — внешняя окружность, $\omega$ — внутренняя окружность.
Рис. 1
Рис. 2
Здесь главное — не запутаться во вписанных углах в $\Omega$ и $\omega$. Напомним, что
вписанные углы, стягивающие равные хорды (дуги), равны, а также такие углы равны, углу, образованному той же хордой и касательной, проведенной в вершине хорды (разумеется, перечисленные геометрические объекты «встречаются» на одной и той же окружности).
\[ \angle TAB = \angle BAC = \angle BTC = \angle UTB ,\tag {1}
\] поскольку $CB = BT$ (по условию). \[
\angle UTS = \angle BST ,
\tag {2}
\] поскольку опираются на одну дугу окружности $\omega$.
Рис. 3
Согласно (1) и (2) имеем $2 \angle TAB = \angle TSB$.
Тогда $\angle ATS = \angle TAS $ (применим для $\triangle ATS$ утверждение «внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним»). Тем самым, доказано \[
AC = CB = BT = 3 .
\] Следовательно, четырехугольник $TACB$ — равнобедренная трапеция, поскольку $TACB$ — вписанный четырехугольник с равными противоположными сторонами.
Рассмотрим рис. 4 — фрагмент рис. 3. Отметим центры окружностей $\Omega$ и $\omega$: точки $O_1$ и $O_2$ соответственно.
Рис. 4
$ \triangle T O_1 C \sim \triangle T O_2 S $ по двум углам, коэффициент подобия равен $8/5$ (по условию \(
O_1 T : O_2 T = 8 : 5\)). Тогда \[
TS : CS = 5 : 3
\quad \mbox {и} \quad
AT : CB = 5 : 3 ,
\] здесь используем подобие $\triangle ATS$ и $\triangle CBS$ по двум углам (см. Рис. 3).
Осталось найти площадь равнобедренной трапеции $TACB$ со сторонами $3$, $3$, $3$ и $5$. Завершите вычисления самостоятельно.
Ответ: \(
8 \sqrt 2
\).
