П.0016. Точка $H$ — ортоцентр остроугольного $\triangle ABC$. Найдите $CH$, если $AB = 4$ и $\sin \angle C = 5/13$ (формулировка изменена).
Решение.
Рис. 1
Воспользуемся тем, что $\Omega_{ABC}$ и $\Omega_{ABH}$ — равные окружности, описанные около $\triangle ABC$ и $\triangle ABH$ соответственно (это доказывается с помощью равенства $ HC_1 = C_1P $). Более того, $\Omega_{ABH}$ является образом $\Omega_{ABC}$ при параллельном переносе на вектор $\vec {CH}$.
Таким образом, все остроугольные треугольники с основанием $AB$ и вершиной $C$, расположенной на дуге $\Omega_{ABC}$, имеют равные отрезки $CH$. Этим же свойством обладает и прямоугольный $\triangle ABC$ $(\angle B = \pi/2)$.
Рассмотрим $\triangle ABC$ с прямым углом $B$. Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла, т.е. $CH$ — это $CB$. \[
CB = AB \operatorname {ctg} C = 4 \cdot \dfrac {12} 5 = \dfrac {48} 5 .
\]
Ответ: \( CH = \dfrac {48} 5 \).
