Из «5000 задач» (И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)

Ш.3599. Две окружности $\Omega$ и $\omega$ касаются друг друга внутренним образом в точке $T$. Хорда $AB$ в большей окружности $(\Omega)$ касается меньшей $(\omega)$ в точке $S$. Прямая $TS$ вторично пересекает $\Omega$ в точке $C$. Найдите $BC$, если $TC = u$, $CS = v$.

Из «5000 задач» (И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)

Ш.3364. В параллелограмме лежат две окружности. Одна их них, радиуса $3$, вписана в параллелограмм, вторая касается двух сторон параллелограмма и первой окружности, см. рис. 1. Расстояние меж­ду точками касания, лежащими на одной стороне параллелограмма, равно $3$. Найдите площадь параллелограмма.

Внешнее касание двух окружностей с параллельными диаметрами

П.0030. Пусть окружности $\Omega_1$ ($A_1 B_1$ — диаметр) и $\Omega_2$ ($A_2 B_2$ — диаметр) касаются внешним образом в точке $O$, причем прямые $A_1 B_1 $ и $ A_2 B_2 $ не имеют общих точек, см. рис. 1. Докажите, что $A_1 A_2 $ и  $ B_1 B_2 $ пересекаются в точке $O$ под прямым углом.

Три окружности, касающиеся внешним образом

П.0029. Три окружности $\Omega_1$ (центр $O_1$, радиус $R_1$), $\Omega_2$ (центр $O_2$, радиус $R_2$) и $\omega$ (центр $O$, радиус $r$) касаются попарно внешним образом. Кроме того, $\Omega_1$, $\Omega_2$ и $
\omega$ касаются общей прямой, см. рис. 1. Докажите, что \[
\dfrac 1 {\sqrt r} = \dfrac 1 {\sqrt {R_1}} + \dfrac 1 {\sqrt {R_2}}  .
\]

Внешнее касание окружностей (лемма)

П.0028. Пусть окружности $\Omega_1$ (центр $O_1$, радиус $R_1$) и $\Omega_2$ (центр $O_2$, радиус $R_2$) касаются внешним образом в точке $A$, см. рис. 1. Прямая $B_1 B_2$ — общая касательная к $\Omega_1$ и $\Omega_2$, точки касания — $B_1$ и $B_2$ соответственно. Докажите, что

$\qquad$ 1) \(
\angle O_1 C O_2 = \dfrac \pi 2 \);

$\qquad$ 2) \(
CA = CB_1 = CB_2 = \sqrt {R_1 R_2} \);

$\qquad$ 3) \(
\angle B_1 A B_2 = \dfrac \pi 2 \);
$\qquad$ 4) \(
\mbox {проекция } B_1 B_2
\mbox { на прямую } O_1 O_2
\mbox { равна } \dfrac {2 R_1 R_2} {R_1 + R_2} \).

\( \small
\sqrt {R_1 R_2} \) — среднее геометрическое, \(
\small \dfrac {2 R_1 R_2} {R_1 + R_2}
\) — среднее гар­мо­ни­чес­кое \( \small R_1\) и \( \small R_2 \).

Параллелограмм Вариньона (7)

П.0027. Дан выпуклый четырехугольник, см. рис. 1. Докажите, что \[
S_{11} + S_{22} = S_{12} + S_{21} . \]

Параллелограмм Вариньона (6)

П.0026. Дан выпуклый четырехугольник, см. рис. 1. Докажите, что \[
S_0 = S_{11} + S_{12} + S_{21} + S_{22} . \] Иными словами, площадь параллелограмма Вариньона вдвое меньше площади четырехугольника, в котором он определен.

параллелограмм Вариньона (5)

П.0025. Дан выпуклый четырехугольник, см. рис. 1. Докажите, что \[
S_{11} + S_{22} = S_{12} + S_{21} . \]

Параллелограмм Вариньона (4)

П.0024. Дан выпуклый четырехугольнике $ABCD$, в котором пересечением средних линий является точка $O$. Докажите, что отрезок $CM$, где точка $M$ — центроид $\triangle ABD$, проходит через точку $O$ и $CO : OM = 3 : 1 $.

Параллелограмм Вариньона (3)

П.0023. Средние линии произвольного четырехугольника и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке.